Ορισμός Γεωμετριών κατά Klein

Η Γεωμετρία κατά Klein (συχνά αναφέρεται ως "Πρόγραμμα του Erlangen", 1872) είναι μια θεμελιώδης προσέγγιση στη μαθηματική γεωμετρία που ορίζει τη γεωμετρία ως τη μελέτη των ιδιοτήτων ενός χώρου οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες (invariants) κάτω από τη δράση μιας συγκεκριμένης ομάδας μετασχηματισμών. 

Εισηγητής της ήταν ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein. Η προσέγγιση αυτή ένωσε τις διάφορες γεωμετρίες (Ευκλείδεια, Προβολική ,Αφινική) σε ένα ενιαίο πλαίσιο βασισμένο στη θεωρία ομάδων. 

Κύρια Στοιχεία της Γεωμετρίας Klein

• Ομάδα Μετασχηματισμών : Κάθε γεωμετρία συνδέεται με μια ομάδα μετασχηματισμών (π.χ. περιστροφές, μετατοπίσεις, προβολές) που δρουν σε έναν χώρο.
• Αναλλοίωτες Ιδιότητες: Αυτές είναι οι ιδιότητες των σχημάτων (όπως μήκη, γωνίες, εμβαδά, παραλληλία) που δεν αλλάζουν όταν εφαρμόζονται οι μετασχηματισμοί της ομάδας.
• Ιεραρχία Γεωμετριών: Όσο πιο "ευρεία" είναι η ομάδα μετασχηματισμώντόσο λιγότερες είναι οι αναλλοίωτες ιδιότητες (π.χ. η Προβολική γεωμετρία έχει πιο γενικούς μετασχηματισμούς και λιγότερες αναλλοίωτες από την Ευκλείδεια).
• Ομογενής Χώρος : Στη σύγχρονη διατύπωσημια γεωμετρία Klein ορίζεται ως ένας ομογενής χώροςόπου μια Lie ομάδα  δρα μεταβατικά. 
• Παραδείγματα

1. Ευκλείδεια Γεωμετρία: Ομάδα μετασχηματισμών = Ισομετρίες (μετατοπίσεις, περιστροφές, κατοπτρισμοί). Αναλλοίωτα = Μήκη, γωνίες, εμβαδά.
2. Αφινική Γεωμετρία: Ομάδα = Αφινικοί μετασχηματισμοί (παραλληλία, λόγος τμημάτων). Αναλλοίωτα = Παραλληλία, λόγος παραλλήλων τμημάτων.
3. Προβολική Γεωμετρία: Ομάδα = Προβολικοί μετασχηματισμοί. Αναλλοίωτα = Προσπίπτουσα δομή (ποιες γραμμές τέμνονται).

Σημασία
Το πρόγραμμα του Klein έβαλε τάξη στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες που αναπτύσσονταν τότε επιτρέποντας την ταξινόμησή τους με βάση τις συμμετρίες τουςενώ επηρέασε βαθιά τη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία και τη μαθηματική φυσική (π.χ. σχετικότητα).